Применение производной при исследовании функции

В 10 классе ученики приступают к изучению этого раздела математики, который называется, как нам известно, «Математический анализ». Конечно, в школе ученики ограничиваются в изучении лишь одних из основных элементов математического анализа. Вначале осуществляется знакомство с серьезнейшим разделом высшей математики. Здесь изучают довольно важные моменты, например, как ведет себя функция. Этот анализ почти всегда связан с таким понятием как, предел, только затем ученики изучают производную – важнейшую математическую модель, построение которой также основано на понятии предела.

Понятие производной произошло как результат долгих усилий, который был направлен на решение таких задач, как задача о проведение касательной к кривой, о нахождении скорости равноускоренного или равнозамедленного движения. Похожими задачами занимались математики с древнего времени.

Также дифференциальное исчисление широко используется при исследовании функций. Благодаря производной можно найти промежутки монотонности функции, её точки экстремума, наибольшие и наименьшие значения.

При изучении темы «Производная» начинают проявляются известные нам трудности, они связанны с осуществлением предельных переходов. Поэтому очень важно придать изложению возможно больше наглядности и конкретный характер.

Тема «Производной» является одной из важнейших тем в курсе алгебры для старшеклассников, поскольку смысл производной в экономике, математике, физике и геометрии. Именно поэтому данная тема должна быть понятна ученикам не только классам физико-математического профиля, но и гуманитариям. Вышеизложенное обуславливает тему исследования.

Цель исследования – охарактеризовать применение производной при исследовании функции.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- рассмотреть исторические сведения о применении производной при исследовании функции;

- охарактеризовать геометрические и физические задачи, приводящие к понятию производной;

- раскрыть понятие производной;

- выявить геометрический и физический смысл производной;

- рассмотреть правила дифференцирования и таблицу производных;

- исследовать практическое применение производной при исследовании функции на примере конкретных задач.

Объект исследования – применение производной.

Предмет исследования – применение производной при исследовании функции.

В классическом дифференциальном исчислении производная чаще всего определяется через понятия теории пределов, однако исторически теория пределов появилась позже дифференциального исчисления. Русский термин «производная функции» впервые употребил В. Г. Болтянский.

Общее понятие производной было сделано независимо друг от друга почти одновременно английским физиком и математиком И. Ньютоном и немецким философом и математиком Г. Лейбницом. Конец XVI – середина XVII веков ознаменовались огромным интересом ученых к объяснению движения и нахождению законов, которым оно подчиняется. Как никогда остро встали вопросы об определении и вычислении скорости движения и его ускорения. Решение этих вопросов привело к установлению связи между задачей о вычислении скорости движения тела и задачей проведения касательной к кривой, описывающей зависимость пройденного расстояния от времени английским физиком и математиком И. Ньютоном, немецким философом и математиком Г. Лейбницем.